laurita: polinomios aritmeticos

polinomios aritmeticos

Polinomios Aritmeticos:

En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo:

$x^{2} - 4x + 7 \;$

es un polinomio, pero:

$x^{2} - \frac{4}{x} +7 x^{\frac{3}{2}}$

no, porque incorpora la división y un exponente fraccionario.
El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio , el de cuatro cuatrinomio o polinomio de “N” términos dependiendo de cuantos haya.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

$P(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,$

por ejemplo:

$P(x)= 7 x^5 + 9 x^4 - 14 x^2 + 6 x - 12 \,$

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.

Valor numérico de un polinomio en un punto:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, \qquad Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:

$\forall i\in \{1,\dots,n\}: (a_i = b_i)$

Ejemplo:

$P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,$

$Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,$

en este caso:

$P(x) = Q(x) \,$

Polinomio opuesto:

Dados dos polinomios:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

$Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$

de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

$P(x) = -Q(x) \,$

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

$\forall_{i=1}^{n} {a_i} = {- b_i}$

Ejemplo:

$P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,$

$Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 2,3 x + 6 \,$

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

Partiendo de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de $\scriptstyle x$ , $\scriptstyle x\ =\ b$ , se obtiene sustituyendo la variable